北师大版八年级数学上册《一次函数》知识总结
时间：2020-11-07 20:25:06
导读：
第四章 一次函数
1、变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
注意：变量还分为自变量和因变量。
2、常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。
3、函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值。
4、函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法。
a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。
b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。
c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
5、求函数的自变量取值范围的方法。
（1）要使函数的表达式有意义：
a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；
b、分式时，让分母≠0；
c、含二次根号时，让被开方数≠0。
（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于0的条件。
6、求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值。
7、描点法画函数图象的一般步骤如下：
Step 1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
Step 2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
Step 3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、判断y不是x的函数的题型：
A、给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。
B、给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。
二、正比例函数
1、正比例函数的定义：一般地，形如y= kx（k是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
注意：
a、自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；
b、比例系数k≠0；
c、不含有常数项，只有x一次幂的单项而已。
2、正比例函数图像：一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。
当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右升，即随着x的增大y也增大。
当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
画正比例函数的最简单方法：
（1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；
（2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；
（3）过点（0，0）与点（1，k）做一条直线。
这条直线就是正比例函数y=kx （k≠0）的图象。
三、一次函数
1、一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
注意：
a、自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；
b、比例系数k≠0；
c、常数项可有可无。
2、一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移| b |个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。
3、系数k的意义：k表征直线的倾斜程度，k值相同的直线相互平行，k不同的直线相交。
系数b的意义：b是直线与y轴交点的纵坐标。
当k>0时，直线y=kx+b从左向右升，即随着x的增大y也增大。
当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
直线y=kx+b与y轴的交点是点（0，b）；与x轴的交点是点（-b，0)。
4、一次函数图像和解析式的系数之间的关系
5、画一次函数图像的最简单方法：
这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象。
6、待定系数法确定一次函数解析式：根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。
步骤：
a、写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫做待定系数）；
b、把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出），即x、y的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。（有几个待定系数，就要有几个方程）
c、解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式。
7、解析式与图像上点相互求解的题型
①求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组，求出k、b的值，再带回解析式中就求出解析式了。
②求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出另一个坐标值即可。
四、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值y=0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。
五、一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值y大（小）于0时，求自变量x相应的取值范围。
用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>（＜）0的部分，然后判断这部分线的x的取值范围。
六、一次函数与二元一次方程（组）
2、求两条直线的交点的方法：将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。
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